AGOSTO

Este semestre comenzamos con LOS NÚMEROS COMPLEJOS; el tema me pareció sencillo y fácil de aprender por lo que considero que se comprendió en su totalidad. Para resolver los ejercicios es muy importante tomar en cuenta la teoría ya que sin el conocimiento de los conceptos de este capítulo se podría complicar el desarrollo de los problemas.

A continuación trataré de exponer la teoría de los números complejos.

Definición.

C = RxR= [(a,b)/ a € R ᴧ b € R]

ax² + bx +c, ecuación de segundo grado sin solución real ya que : b² - 4ac < 0. Entonces aparecen las soluciones en el campo de los números complejos: a+bi

Unidad imaginaria: √-1 = i

Ejemplos: 2+3i ; -8+2/7i ; 0,98 - 3/6i

Representación gráfica.

 

La parte real se representa en el eje de la "x" mientras que la parte imaginaria del número complejo se representa en el eje "y". 

Ө = arctg (b/a)

Módulo : ||z|| = √a² + b²

Formas de representar un Número complejo.

Cero y Opuesto de un Número Complejo

Un número complejo es cero; si, tanto su parte real, como su parte imaginaria es cero, es decir; z = (a,b) es un número complejo cero si a=0 y b=0.

El  opuesto de un número complejo z=(a,b) es definido por:

Un número complejo sumado su opuesto da como resultado el cero complejo:
Sea z = (3-4i) entonces -z = (-3+4i)
z+(-z) = (3-4i) + (-3+4i) = (3-3) + (-4i+4i) = 0+0i ----> cero complejo.

Igualdad de Números Complejos.

Dos números complejos son iguales cuando tienen iguales su parte real y su parte imaginaria. Es decir: 

Operaciones con Número Complejos

Suma: Sean z1 = (a,b) y z2 = (c,d) dos números complejos, entonces se tiene: 

z1 + z2 = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) = Z3

Resta: Sean z1 = (a,b) y z2 = (c,d) dos números complejos, entonces se tiene: 

z1-z2 = (a,b) -(c,d) = (a-c, b-d) = Z3

Multiplicación: Sean z1 = (a,b) y z2 = (c,d) dos números complejos, entonces se tiene: 

z1.z2 = (a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

División: Sean z1 = (a,b) y z2 = (c,d) dos números complejos, entonces se tiene: 

z1/z2 = (ac+bd/c² + d², bc-ad/c² + d²)

La Conjugación en C

Multiplicación y División en Forma Polar

En mi opinión resulta más fácil desarrollar la multiplicación y la división cuando el número complejo esta expresado en su forma polar, a continuación explicaremos cómo se desarrollan estas operaciones:

Multiplicación: Sean z1 = r1. ( cos ө₁  + i senө₁  ) y z2 = r2.  ( cos ө₂ + i sen ө₂ )

z1.z2 = r1.r2 ( cos (ө₁ + ө₂) + i sen(ө₁ + ө₂) )

División:  Sean z1 = r1. ( cos ө₁  + i senө₁  ) y z2 = r2.  ( cos ө₂ + i sen ө₂ )

z1/z2 = r1/r2 ( cos (ө₁ - ө₂) + i sen(ө₁ - ө₂) )

Potencias y Raíces de Números Complejos

Potencia:

Raíces:

Ver más información en : 

Potenciación y raíces de números complejos

Teoría, Ejemplos; Propiedades, Operaciones de Números Complejos

Ejercicios Resueltos