Aprendiendo Matemática Avanzada: OCTUBRE

En este mes se concluyó con el tema: Integración Compleja; no se tuvo mayor dificultad en este capítulo pero es muy importante mencionar que conocer a cabalidad la teoría, propiedades y teoremas es indispensable para poder resolver los ejercicios. La integración compleja es muy similar a la integración de una variable real de Calculo lineal; lo que ayuda a tener alguna noción de lo que se va a ver. A continuación resumiré este tema:

1. Integración Compleja

1.1 Definición:

Consideremos una función compleja f: [a,b] → C, tal que:

ƒ(t) = Re (ƒ(t)) + i Im (ƒ(t)), entonces definimos a la integral en la forma:

ʃ ƒ(t)dt = ʃ Re (ƒ(t)) dt + i ʃ Im (ƒ(t)) dt

1.2 Definición:

Sea z: [α, β] → R² una función continua tal que γ = [z(t) / α≤t≤ β] es una curva se dice que la curva γ es diferenciable (γ es una curva suave o regular o que no presenta picos) es decir γ es diferenciable si:

z’(t) ≠ 0

1.3 Definición:

Sea γ = [z(t) / α≤t≤ β] una curva, entonces diremos que la curva γ es rectificable si su longitud de arco Lγ existe, es decir la integral

Lγ = ʃ ||z’(t)|| dt = ʃ √((x’(t)² + y’(t)²) dt existe.

1.4 Integrales de Línea

1.5 Teorema de la integral de Cauchy

*El enunciado del Teorema de Cauchy dice lo siguiente: “Dada una función w = f(z) que es analítica en una cierta región y una curva cerrada “C”, ubicada en dicha región; la integral curvilínea cerrada de w(z) a lo largo del contorno C es nula”.

* Si f es analítica en un dominio simplemente conexo D. Sea γ cualquier curva cerrada simple en D que encierra a Zo.

* Para derivadas de orden superior.- Si f es analítica en un dominio D simplemente conexo D y sea Zo en D entonces f tiene derivadas de todos los ordenes en Zo y la enésima derivada en Zo es: