En este mes se pudo concluir con los temas: Límite y continuidad de funciones complejas y Derivada de una función compleja. En comparación a la materia del primer mes estos temas me parecieron más díficiles sobre todo en las demostraciones de límites, sin embargo se logró comprender todo este capítulo. Es importante saber las propiedades de límites y los diferentes teoremas de este capítulo para poder resolver los ejercicios propuestos. A continuación resumiré este capítulo y se añadiran páginas web para completar mi explicación.
Sea ƒ:
D ⊆ C → C, una función compleja de
variable compleja z, definida en la región D ⊆ C excepto posiblemente en Z0 entonces
diremos que el límite de f(z) es el número complejo L cuando z se aproxima a Z0 , si y solo sí, para todo ξ>0, existe un δ>0, tal que:
0< ||z- Z0||< δ, entonces ||f(z) –L||< ξ
Propiedades:
Se dice que limz→z0 f(z) = ∞ si para todo M > 0 existe δ > 0 tal que si |z − z0| < δ, entonces
|f(z)| > M.
Se dice que limz→∞ f(z) = l si para todo ε > 0 existe N > 0 tal que si |z| > N, entonces
|f(z)−l| < ε.
Por último, diremos que limz→∞ f(z) = ∞si para todo M > 0 existe N > 0de manera que si
|z| > N, entonces |f(z)| > M.
Los límites de funciones de variable compleja tienen las siguientes propiedades que son análogas a aquellas de los límites de funciones del plano.
(L1) Si el límite existe, entonces es único.
(L2) limz→z0 f(z) = l si y sólo si limz→z0 Ref(z) = Rel y limz→z0 Imf(z) = Iml.
Continuidad de una Función Compleja
Una vez estudiada la noción de límite de una función de variable compleja, pasamos a abordar la continuidad de las misma. Como en el caso real una función f : A ⊆ C → C se dirá continua en z0 ∈ A si existe el límite de f(z) cuando z → z0 y además limz→z0, f(z) = f(z0).
La función f se dirá continua en A si es continua en todo punto de A.
Como no podía ser de otra manera, la continuidad de f ocurre si y sólo si son continuas la
funciones coordenadas Ref e Imf.
Ejercicios resueltos:
Demostrar que el siguiente límite no existe:
Solución:
Estudiar la continuidad de la siguiente función:
Solución
Más información:
Limites y Continuidad:
2) Derivadas de Funciones Complejas
Aunque la definición es idéntica en su forma a la derivada real, pues f : A ⊆ C → C se
dirá derivable (también holomorfa) en z0 ∈ Int(A) si existe y es finito el límite.
Propiedades de la derivada de funciones complejas:
Ecuaciones de Cauchy Riemann.
Si z = x+iy y f(z) = u(x; y)+iv(x; y), y f(z) es analítica en alguna región R en el plano z, entonces las dos ecuaciones:
conocidas como las ecuaciones de Cauchy-Riemann, se satisfacen en todo R. Las funciones analíticas cumplen con estas ecuaciones.
Funciones armónicas
Las funciones armónicas son aquellas que verifican las ecuaciones de Laplace.
Más información:
Derivadas de funciones complejas y Ecuaciones de Cauchy Riemann:
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